La réponse à cette colle se trouve dans ces deux mots : superlatif absolu.

Ne fuyez pas, je vais vous expliquer cette règle qui nous semble toujours étrange à l’oreille.

Lorsque l’on compare une chose à une autre en employant « le plus » ou « le moins », il s’agit du superlatif relatif. Dans ce cas, il faut accorder le déterminant en genre et en nombre avec le nom auquel il se rapporte.

Exemples :

– cette explication est la moins limpide de toutes (« la » s’accorde avec « explication ») ;

– les 11 novembre et 2 décembre étaient les journées les plus pluvieuses de l’hiver (« les » s’accorde avec « journées »).

Lorsque l’on compare différents états d’une même chose, il s’agit du superlatif absolu. Dans ce cas, le déterminant reste invariable.

Exemples :

– c’est dans cette robe que je me trouve le plus belle ;

– ils ont exercé plusieurs professions, mais c’est dans celle-ci qu’ils sont le plus compétents.

Dans la phrase qui vous était proposée, il aurait donc fallu écrire : « Je m’en approche en tentant de demeurer le plus silencieuse possible. » Ici, la narratrice ne cherche pas à être plus silencieuse que d’autres personnes, mais à l’être le plus possible (seulement elle).